Небольшое кафе в парке отдыха одно из многих имеет 9 столиков

Обновлено: 10.01.2025

Идеальный отдых у многих ассоциируется с морским побережьем, ласковым солнцем и нежными волнами. В момент размышления о пребывании на море редко кто задумывается о других отдыхающих. А ведь именно окружающие могут существенно подпортить столь приятное отпускное время. Но не стоит расстраиваться. Наша планета не перестает удивлять изобилием морских берегов, и поклонники отдыха в одиночку могут подобрать для себя уединенные пляжи.

курсовая по математике.docx

Решая эту систему уравнений, можно получить выражения, определяющие финальные состояния системы массового обслуживания:

Следует заметить, что в формулы определения финальных вероятностей состояний р₁, р₂, р₃,…, р_n, входят слагаемые, являющиеся составной частью суммы выражения, определяющей р₀. В числителях этих слагаемых находятся произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок графа состояний, ведущих слева на право до рассматриваемого состояния S_k, а знаменатели представляют собой произведения всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа на лево до рассматриваемого состояния S_k, т.е. μ₀, μ₁, μ₂, μ₃,… μ_k. В связи с этим запишем эти модели в более компактном виде:

3 ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ПРОКЛАДНЫХ ПРОГРАММ

Рассмотрим решение задачи с помощью прикладных программ.

Небольшое кафе в парке отдыха, одно из многих, имеет 9 столиков. Посетители, увидевшие свободный столик, садятся и их обслуживают. Время пребывания клиентов за столиком распределено экспоненциально и в среднем составляет 24 мин. Если свободных мест нет, люди проходят мимо в расположенные неподалеку практически такие же кафе. Поток потенциальных клиентов можно считать пуассоновким, его интенсивность – 1 человек (пара или группа) за 2 минуты.

Хозяин подумывает немного расширить кафе и довести количество столиков до дюжины. Принесет ли ему выгоду этот шаг, если занятый столик приносит 750 руб в час из которых остается оплатить содержание одного столика - 300 руб/час?

Какое количество столиков принесет ему наибольшую прибыль?

Для расчета прибыли от кафе, зависящей, очевидно, от коэффициента загрузки столиков, нужно вычислить характеристики системы массового обслуживания, которую и представляет собой данное кафе. А для вычисления характеристик нужно сначала определить, каковы параметры данной СМО.

Определимся сначала с популяцией клиентов. Судя по условию задачи клиентов очень много. От того, что какие-то клиенты заходят и занимают столики в кафе, общее количество отдыхающих в парке, желающих посидеть в кафе, практически не уменьшается. Во всяком случае, заметить такое уменьшение невозможно. Такая ситуация соответствует модели неограниченной популяции клиентов.

Для неограниченной популяции клиентов имеются две модели СМО:

неограниченная очередь и ограниченная очередь. По условию данной задачи получается, что очереди нет совсем. Конечно, это соответствует модели ограниченной очереди. Причем можно сказать, что максимальная длина очереди равна 0, а максимальное количество клиентов в системе равно числу столиков.

Под клиентом мы понимаем и одиночного посетителя, и пару, и группу, которые занимают один из столиков. Видимо по умолчанию предполагается, что столики маленькие и если даже один клиент сидит за ним, к нему никто не подсаживается.

В данной задаче в качестве сервера выступает столик, таким образом количество серверов в системе равно 9.

Далее нужно определить интенсивность потока клиентов и интенсивность потока обслуживания для одного сервера. Так как потенциальные клиенты проходят мимо кафе раз в две минуты, то интенсивность потока клиентов можно определить, как 30 клиентов в час, т.е. λ=30.

В среднем клиенты проводят за столиком 24 минуты. Очевидно, эту величину и нужно считать временем обслуживания. При этом интенсивность потока обслуживания в расчете на часовой интервал времени будет равна μ=2.4 (=60/24) клиентов в час.

Теперь мы можем вызывать надстройку Расчет параметров СМО и вводить в ней все эти параметры. Перед тем, как нажать кнопку Выполнить, проверьте, что вы использовали вкладку Ограниченная очередь.

Результат расчета показан на рисунке (Рис. 3.1).

Видно, что в среднем из 9 столиков занятыми оказываются 7.67 и, соответственно, процент загрузки каждого столика-сервера равен

0.85. При том, что столики заняты только 85% всего времени работы, вероятность того, что все столики заняты (9 клиентов в системе) равна 36%. А это означает, что с вероятностью 36% подходящий потенциальный клиент обнаружит, что все столики заняты и пройдет мимо. Таким образом, 36% клиентов теряется.

Теперь оценим прибыли и затраты владельца кафе.

При любом раскладе он платит за столик 300 рублей в час, соответственно за 9 столиков – 2700 рублей в час. Если бы столики были заняты все время, каждый приносил бы 750 рублей в час. Но, как мы уже заметили, каждый столик загружен примерно 85% времени. Это значит, что из этих 750 рублей столик приносит только 639.57 рублей (0.85277*750), а все 9 столиков – примерно 5756 рублей. Разница между 5756 руб. и 2700 руб. и есть прибыль – 3056 рублей в час. Немного отвлекаясь, заметим, что такой расчет можно сделать и другим способом. Так как занятый столик приносит 750 рублей в час, а каждый

посетитель в среднем остается в кафе 24 минуты, то можно подсчитать, что в среднем каждый клиент оставляет в кафе 300 рублей (750*24/60). Если бы удалось обслужить весь поток клиентов (30 чел. в час), можно было бы заработать 9000 рублей. Но этого, очевидно, не происходит, так как 36% клиентов теряется. Тогда из этих 9000 рублей возможного заработка будет реально заработано только 5756 рублей (64%*9000). Это точно совпадает с результатами расчета прибыли по проценту загрузки столика.

Ну и самый простой вариант расчета.

Как вы видите в ячейке E6 среднее

число клиентов в системе 7.675. Так как мы договорились считать клиентом человека или компанию, целиком занимающих столик, то это одновременно и среднее число занятых столиков. Если умножить это число на среднюю выручку от столика за час, то мы сразу получим выручку от всего кафе 7.675*750=5756 рублей. Издержки, разумеется, всегда считаются одинаково.

Итак, полученная прибыль от 9 столиков в кафе составляет 3056 руб.

Оценим теперь прибыль от 12 столиков. Для этого нужно пересчитать характеристики СМО, заменив только два параметра - количество серверов и максимальное количество клиентов в системе – на 12.

Результаты расчета показаны на рисунке (Рис. 3.2).

Теперь еще раз рассчитаем прибыль. Опираться будем для простоты на процент загрузки каждого столика.

При проценте загрузки около 80% каждый столик даст только 601 руб. (750*0.80143). Это меньше, чем при 9 столиках. Но зато столиков теперь больше – 12 вместо 9. Эти 12 столиков принесут

7213 рублей в час (601.07*12). И даже при том, что платить за них придется больше – 12*300=3600 рублей, прибыль составит 3613 рублей, что примерно на 20% больше, чем при 9 столиках.

Наш расчет показывает, что если увеличить количество столиков до 12, отдача каждого столика упадет. Но за счет того, что доля потерянных клиентов сильно уменьшится (до

20%), общая прибыль возрастет. Таким образом, увеличить количество столиков до 12 - выгодно.

А если увеличить количество столиков до 15? До 20? Какое количество

К сожалению, найти оптимальное количество столиков для этого кафе как-нибудь автоматически не получится. Единственный способ – попробовать несколько вариантов и найти вариант с максимальной прибылью. Сделать это не так уж сложно. Когда мы увеличили число столиков до 12 - прибыль возросла.

Попробуем увеличить число столиков до 13, 14 и т.д. до тех пор, пока не окажется, что при добавке столика прибыль упала. Ясно, что дальнейшее увеличение числа столиков не имеет смысла, так как прибыль будет все время уменьшаться.

Вернемся к надстройке Расчет параметров СМО и повторим расчет характеристик СМО, меняя число столиков и максимальное количество клиентов. Попробуем количества столиков от 13 до 15. На рисунке 3.3 приведен результат расчетов для всех этих случаев.

Видно, что прибыль растет до тех пор, пока количество столиков не достигнет 14 (прибыль равна 3745 рублей). После этого рост числа столиков не ведет к росту прибыли. Скорее наоборот. Это значит, что оптимальное число столиков равно 14. А почему, собственно рост числа столиков не дает роста прибыли? Ведь доля потерянных клиентов уменьшается…

Посмотрим внимательней на эту долю. При увеличении числа столиков от 12 до 14 доля потерянных клиентов снизилась от 19.86% до 11.72% (ячейки E21 и G23). Значит увеличивая число столиков с 12 до 14 мы можем обслужить добавочно 8.14% клиентов. При потоке клиентов 30 в час это даст 8.14%*30=2.44 обслуженных клиента, каждый из которых оставляет в кафе 300 рублей. В результате мы получаем дополнительно примерно 732 рубля в час (2.44*300), а за увеличение числа столиков платим только 2*300=600 рублей, что и приносит нам в результате 132 рубля в час дополнительно. Увеличение числа столиков до 15 сокращает долю потерянных клиентов до 8.57%, что, в сравнении с 14-ю столиками, приводит к увеличению доли обслуженных клиентов всего на 3.15%. Повторяя предыдущий расчет получим, что добавление еще одного столика увеличит выручку на 283 рубля(3.15%*30*300). При этом расходы возрастут на 300 рублей, что должно уменьшить суммарную прибыль на 17 рублей. Это мы и наблюдаем на рисунке 3.3 . Итого, оптимальное количество столиков -14.

Необходимо отметить, что модели и методы расчета не принимают решений. Решения принимают менеджеры. Среди многих причин этого одна из важнейших состоит в том, что любая задача есть упрощение ситуации. За рамками поставленной и решенной задачи всегда остается некоторая – большая или меньшая – совокупность обстоятельств, которые не удалось отразить в модели. Они тоже влияют на принятие решения и задача менеджера,принимающего решение в данной ситуации, учесть и их.

Значит ли, что владелец кафе, основываясь на максимуме прибыли, должен остановиться именно на 14-ти столиках? Наверное, не обязательно. Мы не знаем, например, не увеличится ли поток клиентов именно к этому кафе, если увеличить число столиков до 15-16, из-за того, что в нем с большей вероятностью можно найти свободный столик? В реальных условиях это нужно исследовать. И с этой точки зрения 15 столиков лучше, чем 14, т.к. прибыль практически не уменьшается, но зато собранная информация может помочь в принятии нового интересного, но неочевидного в исходной ситуации, решения.

Голубая лагуна, Фиджи

Пляж на острове Фиджи – потрясающее место, где каждый сможет найти занятие по душе. Помимо созерцания захватывающих дух пейзажей здесь можно арендовать бунгало на побережье или же прямо на воде . Такой отпуск запомнится на всю оставшуюся жизнь.

Небольшое кафе в парке отдыха одно из многих имеет 9 столиков

Чужой компьютер

Парк развлечений САЛЬТО I Ульяновск

вернуться к странице

Парк развлечений САЛЬТО I Ульяновск запись закреплена

Решение различных задач и загадок, способствующих развитию логического мышления, само по себе сложное и затягивающее в «омут знаний» занятие. А когда задачки еще и с подвохом, думать тяжелее вдвойне: ответ на вопрос может оказаться предельно простым и ввести в «ступор» даже бывалого математика.

Посмеялись? Если да, мы вас поздравляем: ученые утверждают, что смех продлевает жизнь Сохраняйте к себе и ставьте лайк

Ситуация12.

Описание ситуации: Автоматическая телефонная система фирмы «Такси по телефону» может поставить в очередь максимум 3-х клиентов. Каждый из операторов, работающих в системе, тратит в среднем на принятие заказа такси 2 мин. Звонки же поступают в среднем 1 раз в минуту. Распределение времени обслуживания и интервала времени между звонками – экспоненциальное. Один клиент в среднем приносит прибыль $5. Если клиент не дозванивается, он вызывает такси другой компании. Если в данный момент нет свободных такси, клиент также будет потерян. Данная компания имеет парк из 22 такси, среднее время обслуживания пассажира 20 мин (распределено экспоненциально). Водитель получает $6 в час, а оператор $4.

В настоящий момент фирма имеет четырех операторов.

Контрольный вопрос:

Какова упущенная выгода фирмы от потери не дозвонившихся или неудовлетворенных клиентов?

Решение задачи.

Для неограниченной популяции клиентов имеются две модели СМО: неограниченная очередь и ограниченная очередь. По условию данной задачи получается, что очереди нет совсем. Конечно, это соответствует модели ограниченной очереди. Причем можно сказать, что максимальная длина очереди равна 0, а максимальное количество клиентов в системе равно числу столиков. Под клиентом мы понимаем и одиночного посетителя, и пару, и группу, которые занимают один из столиков. Видимо по умолчанию предполагается, что столики маленькие и если даже один клиент сидит за ним, к нему никто не подсаживается.

В данной задаче в качестве сервера выступает столик, таким образом количество серверов в системе равно 9.

Далее нужно определить интенсивность потока клиентов и интенсивность потока обслуживания для одного сервера.

Так как потенциальные клиенты проходят мимо кафе раз в две минуты, то интенсивность потока клиентов можно определить, как 30 клиентов в час, т.е.

Теперь мы можем вызывать надстройку Расчет параметров СМО и вводить в ней все эти параметры. Перед тем, как нажать кнопку Выполнить , проверьте, что вы использовали вкладку Ограниченная очередь .

Пуассоновское распределение для потока заявок

Экспоненциальное распределение времени обслуживания

Расчет по формулам теории СМО

Процент загрузки каждого сервера

Среднее число клиентов в системе

Средняя длина очереди

Среднее время пребывания в системе

Среднее время ожидания в очереди

% времени, когда все серверы свободны

Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе

Зайцев М.Г., Варюхин С.Е.

Результат расчета показан на рисунке (Рис. 315).

При том, что столики заняты только 85% всего времени работы, вероятность того, что все столики заняты (9 клиентов в системе) равна 36%. А это означает, что с вероятностью 36% подходящий потенциальный клиент обнаружит, что все столики заняты и пройдет мимо.

Таким образом, 36% клиентов теряется.

Теперь оценим прибыли и затраты владельца кафе.

Немного отвлекаясь, заметим, что такой расчет можно сделать и другим способом. Так как занятый столик приносит 750 рублей в час, а каждый посетитель в среднем остается в кафе 24 минуты, то можно подсчитать, что в среднем каждый клиент оставляет в кафе 300 рублей (750*24/60). Если бы удалось обслужить весь поток клиентов (30 чел. в час), можно было бы заработать 9000 рублей. Но этого, очевидно, не происходит, так как 36% клиентов теряется. Тогда из этих 9000 рублей возможного заработка будет реально заработано только 5756 рублей (64%*9000). Это точно совпадает с результатами расчета прибыли по проценту загрузки столика.

Ну и самый простой вариант расчета. Как вы видите в ячейке E6 среднее число клиентов в системе 7.675. Так как мы договорились считать клиентом человека или компанию, целиком занимающих столик, то это одновременно и среднее число занятых столиков. Если умножить это число на среднюю выручку от столика за час, то мы сразу получим выручку от всего кафе 7.675*750=5756 рублей. Издержки, разумеется, всегда считаются одинаково.

Итак, полученная прибыль от 9 столиков в кафе составляет 3056 руб. Оценим теперь прибыль от 12 столиков. Для этого нужно пересчитать характеристики СМО, заменив только два параметра - количество серверов и максимальное количество клиентов в системе – на 12.

Теория массового обслуживания

Содержание работы

ВВЕДЕНИЕ 3
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 4
1.1 Общие понятие теории массового обслуживания 4
1.2 Моделирование систем массового обслуживания 9
1.3 Графы состояний СМО 16
1.4 Случайные процессы 17
2 УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ СИСТЕМЫ 20
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Уравнения Колмогорова 20
Процессы «рождения – гибели» 25
Экономико-математическая модель системы массового 28
обслуживания. Решение задачи с помощью прокладных программ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 36
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙЛИТЕРАТУРЫ 37

Файлы: 1 файл

Небольшое кафе в парке отдыха одно из многих имеет 9 столиков

При решении многих задач оптимальной организации торговли, бытового обслуживания, складского хозяйства и т.п. часто используется интерпретация производственной структуры как системы массового обслуживания (СМО), т.е. системы в которой с одной стороны, постоянно возникают запросы на выполнение каких-либо работ, а с другой стороны происходит постоянное удовлетворение этих запросов.

Каждая СМО состоит из определенного числа обслуживающих единиц, которые будем называть каналами обслуживания. По числу каналов СМО подразделяют на одноканальные и многоканальные.

Предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность и т.д.) с показателями эффективности СМО:

· абсолютная пропускная способность A – среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

· относительная пропускная способность Q – средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

· P_отк – вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

· - среднее число занятых каналов (для многоканальной системы);

· - интенсивность нагрузки канала;

· L_сист – среднее число заявок в системе;

· T_сист – среднее время пребывания заявки в системе;

· L_оч – среднее число заявок в очереди (длина очереди);

· T_оч – среднее время пребывания заявки в очереди;

· P_зан – вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала);

· L_об – среднее число заявок, находящихся под обслуживанием и тд.;

СМО делят на два основных типа: СМО с отказами и СМО с ожиданием (очередью). В СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает СМО без дальнейшего участия в процессе обслуживания. СМО с ожиданием подразделяются на разные виды, в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной или неограниченной очередью, с ограниченным временем ожидания и т.п.

Формулы для расчета показателей эффективности работы СМО

СМО с отказами

Одноканальная система:

Многоканальная система:

3.1.2. СМО с неограниченной очередью:

Одноканальная система:

, , ,

Многоканальная система:

, , , .

3.1.3. СМО с ограниченной очередью:

Одноканальная система:

, ,

, .

Многоканальная система:

, , .

Примеры расчета показателей эффективности работы СМО

Пример 1. Магазин посещает в среднем 90 человек в час. Имеющийся один кассир обслуживает в среднем одного покупателя в минуту. Очередь в зал обслуживания ограничена 5 покупателями. Оценить эффективность работы СМО.

Решение:

Система одноканальная с ограниченной очередью.

т.е. 54,8% покупателей получают отказ в обслуживании.

Среднее число людей, стоящих в очереди:

, .

Среднее время пребывания в очереди:

Вывод: необходимо посадить ещё одного кассира, либо уменьшить время обслуживания каждого покупателя.

Пример 2 . На склад в среднем прибывает 3 машины в час. Разгрузку осуществляют 3 бригады грузчиков. Среднее время разгрузки машины - 1час. В очереди в ожидании разгрузки могут находиться не более 4-х машин. Дать оценку работы СМО.

Решение:

Многоканальная система с ограниченной очередью.

т.е. грузчики работают практически без отдыха.

По формуле находим вероятность отказа в обслуживании прибывшей на склад машины:

Относительная пропускная способность равна:

Среднее число машин в очереди:

машин.

Среднее время пребывания машины на складе:

часа

Это сравнимо со средним временем разгрузки машины. Можно сделать вывод, что разгрузка машины на складе организована эффективно.

Пример 3 . Небольшое кафе в парке отдыха, одно из многих, имеет 9 столиков. Посетители, увидевшие свободный столик, садятся и их обслуживают. Время пребывания клиентов за столиком в среднем составляет 24 мин.

Если свободных мест нет, люди проходят мимо в расположенные неподалеку практически такие же кафе. Интенсивность потока потенциальных клиентов – 1 человек (пара или группа) за 2 минуты.

Какое количество столиков принесет ему наибольшую прибыль?

Решение:

По условию данной задачи очереди нет совсем. Это соответствует модели СМО с отказами. Видимо предполагается, что столики маленькие и если даже один клиент сидит за ним, к нему никто не подсаживается. Количество каналов равно 9.

Посчитаем прибыль владельца кафе при 9 столиках

Выручка = 750* = 750*7,74-2700=3105

Хозяин платит за столик 300 рублей в час, соответственно за 9 столиков – 2700 рублей в час.

Посчитаем прибыль владельца кафе при 10 столиках

, ,

Выручка = 750* = 750*8,316-300*10=3237

При 10 столиках он будет получать прибыль в размере 3237 в час.

Посчитаем прибыль владельца кафе при 11 столиках

Выручка = 750*

При 11 столиках он будет получать прибыль в размере 3522 в час.

Посчитаем прибыль владельца кафе при 12 столиках

Выручка = 750* =750*9,54-300*12=3555

При 12 столиках он будет получать прибыль в размере 3555 в час.

Наш расчет показывает, что если увеличить количество столиков до 12, отдача каждого столика упадет. Но за счет того, что доля потерянных клиентов сильно уменьшится, общая прибыль возрастет.

Таким образом, увеличить количество столиков до 12 - выгодно.

4. Контрольные задания.

Номер контрольного задания определяется традиционно по последней цифре в номере зачетной книжки.

Контрольная работа оформляется на листах А4, шрифт Times New Roman 14. Поля: слева – 2,5; справа – 1,5; верхнее и нижнее – по 2 см.

Небольшое кафе в парке отдыха одно из многих имеет 9 столиков

№ Яндекс кошелька для помощи сайту

Авторизация

Сайты партнеры:

Для быстрого поиска по странице используйте комбинацию клавиш Ctrl+F и в появившемся окне напечатайте слово запроса (или первые буквы)

вводный тур

ВОПРОСЫ ВВОДНОГО ТУРА

Возрастная категория: 3-4 класс

Конфеты какой кондитерской фабрики делают в Москве?

Какого «кольца» нет у Москвы?

Какого животного нет в московском зоопарке?

Прочитайте небольшое стихотворение Натальи Горбаневской о Москве. О каком «Соколе» здесь идет речь? Раз-два-три, раз-два-три, вот вам и вальс, разные разности резвой ногой. Около «Сокола» милый трамвай с мерзлыми стеклами, с гордой дугой.

Большой торговый центр;

Станция метро;

Дворец-музей русских царей.

В центре Москвы есть улица Кузнецкий Мост. Почему она так называется?

Ее построил былинный богатырь, кузнец Вакула;

Здесь жил Герой Советского Союза Кузнецов;

В старину здесь трудились мастера-кузнецы;

Здесь разводят кузнечиков. 6.

В каком из перечисленных московских парков есть колесо обозрения?

Когда в Москве появился первый жилой дом выше девяти этажей?

Какая линия московского метро большую часть пути проходит по земле?

Рассмотрите кадр из фильма «Верные друзья» (реж. М. Калатозов, 1954 год). Как называется колокольня, которую вы видите?

Ивана Великого;

Рассмотрите картину. В каком веке Москва могла выглядеть так?

Бухта Адрасан, Кемер

Казалось бы, что в Турции нет свободного места от непрекращающегося потока туристов. Но и здесь есть тихие, спокойные уголки. Бухта Адрасан расположена в окружении гор и домов. Желающих на лодках отвозят для купания в открытом море.

Как правило, этот пляж полупустой, обычно в этом месте отдыхают жители страны.

Ситуация11.

Описание ситуации: Небольшое кафе в парке отдыха, одно из многих, имеет 9 столиков. Посетители, увидевшие свободный столик, садятся и их обслуживают. Время пребывания клиентов за столиком распределено экспоненциально и в среднем составляет 24 мин.

Если свободных мест нет, люди проходят мимо в расположенные неподалеку практически такие же кафе. Поток потенциальных клиентов можно считать пуассоновким, его интенсивность – 1 человек (пара или группа) за 2 минуты.

Контрольный вопрос:

Какое количество столиков принесет ему наибольшую прибыль?

9.П-2. Кафе в парке отдыха

Какое количество столиков принесет ему наибольшую прибыль?

9.П-3. Такси по телефону

в среднем 1 раз в минуту. Распределение времени обслуживания и интервала времени между звонками – экспоненциальное. Один клиент в среднем приносит прибыль $5. Если клиент не дозванивается, он вызывает такси другой компании. Если в данный момент нет свободных такси, клиент также будет потерян. Данная компания имеет парк из 22 такси, среднее время обслуживания пассажира 20 мин (распределено экспоненциально). Водитель получает $6 в час, а оператор $4.

В настоящий момент фирма имеет четырех операторов.

a. Какова упущенная выгода фирмы от потери не дозвонившихся или неудовлетворенных клиентов?

b. Каково оптимальное количество операторов?

Что губит многие кафе вскоре после открытия?

Иногда, когда открывается новое и хорошее кафе, которое предлагает что-то интересное в концепции блюд или просто стильную атмосферу, я искренне радуюсь. Всё же всегда интересно сходить в новое место, особенно, если людей заманивают более низкими ценами, чем у соседей.

Однако, в дальнейшем, мне часто становится грустно от того, что многие кафе наступают на очередные "грабли". Что же не так?

Каждое вновь из открывшихся кафе проходит 3 стадии:

привлечение клиентов более низкими ценами или какими-то интересными и необычными блюдами, либо напитками или крафтовым кофе
достижение определённой планки, когда наблюдается поиск баланса между ценой, качеством и исполнением блюд. Меню обычно становится более обширным, какие-то блюда исчезают из меню, какие-то появляются уже видоизменёнными, разрабатываются комбо завтраки и обеды
Стагнация и падение качества обслуживания/еды, либо, наоборот, закрепление существующей концепции, сохранение хорошего качества блюд, ввод новинок и поиск новых путей решения проблем

Увы, многие кафе демонстрируют именно падение качества. При этом цена вроде бы и не меняется, появляются даже скидки и всевозможные акции. Но. Качество уже не то!

Кофе становится каким-то пережаренным или слишком горьким, омлет почему-то начинает подгорать или становится слишком жирным на вкус, красивая дизайнерская посуда уступает место обычной и недорогой из Ашана или Икеа, часть вкусных напитков из меню оказывается часто недоступной по непонятным причинам.

Эти и другие "звоночки" начинают удивлять и расстраивать. Недоумение сменяется отвращением к такой еде или напиткам. И тут выясняется, что по соседству открылась новая кофейня с изумительными вкусными пирожными и отличным на вкус клюквенным чаем.

Решение задачи.

С точки зрения теории очередей фирма представляет собой две системы массового обслуживания: телефонная система приема заказов и парк машин такси. Выходной поток обслуженных диспетчерской службой клиентов является входным потоком для второй системы – машин такси.

Разумеется, есть некоторые сомнения по поводу выходного потока первой системы – действительно ли он может рассматриваться, как пуассоновский? В реальной ситуации, когда мы можем поставить дополнительные вопросы по проблеме, параметры выходного потока следовало бы исследовать дополнительно. Но в данной задаче, очевидно, решение может быть найдено без моделирования обеих систем, только если считать поток пуассоновским. Из этого и следует исходить.

Зайцев М.Г., Варюхин С.Е.

Пуассоновское распределение для потока заявок

Экспоненциальное распределение времени обслуживания

Расчет по формулам теории СМО

Процент загрузки каждого сервера

Среднее число клиентов в системе

Средняя длина очереди

Среднее время пребывания в системе

Среднее время ожидания в очереди

% времени, когда все серверы свободны

Вероятность того, что ровно N клиентов находятся в системе

Итак, первая система представляет собой СМО из четырех серверовдиспетчеров с неограниченной популяцией потенциальных клиентов и ограниченной очередью (не более трех ожидающих обслуживания). Так как серверов в системе 4, то максимальное число клиентов в системе 7 – четыре под обслуживанием и три ожидающих в очереди. Поток клиентов в расчете на 1 минуту равен λ =1, а интенсивность обслуживания клиентов каждым из серверов μ =0.5 (в среднем 2 минуты на каждого).

Характеристики этой системы, вычисленные надстройкой Расчет параметров СМО , представлены на Рис. 318. Можно отметить, что по причине отказа в обслуживании системой теряется всего около 1% клиентов (P 07 =0.011). Среднее время ожидания в очереди очень невелико и равно 0.122 минуты (около 7 секунд), таким образом, первая СМО по своему качеству выглядит неплохо.

Вторая система массового обслуживания – такси – тоже система с неограниченной популяцией клиентов и ограниченной очередью. Правда, длина очереди в ней нулевая, поэтому максимальное число клиентов в системе равно числу серверов, т.е. равно 22. В качестве серверов выступают машины такси.

Судя по всему ситуацию можно себе представить таким образом. Диспетчер разговаривает с клиентом даже в том случае, если свободных машин нет. Он уточняет все параметры вызова – по какому адресу нужно послать машину и в каком месте ей ожидать клиента, сколько человек поедет, место назначения, информирует о стоимости поездки и проч. Если к моменту окончания разговора имеется свободная машина, диспетчер информирует клиента, что машина вышла и будет у него через столько-то минут. Если же к этому моменту свободных машин нет, диспетчер говорит, что машина может выехать через такое-то время (скажем 15 минут) и спрашивает, будет ли клиент ждать. По условиям задачи в подавляющем большинстве случаев клиенты отказываются от ожидания и звонят в другую компанию.

Поток клиентов, входящий во вторую систему будет меньше потока, входящего в первую систему за счет клиентов, не дозвонившихся до диспетчера.

В настоящее время ввиду малых потерь эти потоки почти не отличаются, но все же используем для расчета точное значение выходящего потока клиентов. Так как теряется примерно 1.1% клиентов, то остается 98.9% из потока λ 1 =1 клиент в минуту, или, в штуках, λ 2 =0.989 клиента/минуту.

Поток обслуживания, соответствующий времени обслуживания 20 минут, составит μ 2 =1/20 клиента в минуту. Его можно ввести в окно надстройки и как 0.05, и как 1/20. Обыкновенная дробь при этом будет автоматически конвертирована в десятичную дробь (Рис. 319).

Результат расчета показан на следующем рисунке (Рис. 320).

Как мы можем видеть, около 10% клиентов, прошедших через интервью с диспетчером, с неприятным удивлением обнаружат, что машин нет. Эти клиенты будут потеряны и не принесут прибыли компании.

Рассчитаем общую прибыль компании, скажем в расчете на один час рабочего времени, основываясь на полученных результатах. Сначала вычислим издержки. Это, очевидно, плата водителям и диспетчерам. Каждый из 22 водителей получает 6$ в час, а каждый из 4 диспетчеров – 4$. Итого 148$ в час.

А сколько мы выручим от обслуживания клиентов? Подойдем к вычислению выручки через коэффициент загрузки каждой машины. Полностью загруженная работой машина приносит 15$ за час, так как она может обслужить максимум 3 клиента в час (по 20 минут на каждого), а один клиент приносит 5$. Если машина загружена не полностью, то она принесет меньше денег. Коэффициент загрузки, умноженный на 15$, даст реальную среднюю выручку каждой машины.

Читайте также: