Формула нахождения прямоугольного параллелепипеда и куба

Обновлено: 10.01.2025

Пусть рёбра будут равны а, b, с.

Пусть ребро куба равно а.

*Понятно, что формулы куба являются следствием из соответствующих формул прямоугольного параллелепипеда. Куб – это параллелепипед, у которого все рёбра равны, грани являются квадратами.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 5 и 8. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 210. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Обозначим известные ребра за а и b, а неизвестное за c.

Тогда формула площади поверхности параллелепипеда выражается как:

Остаётся подставить данные и решить уравнение:

Площадь поверхности куба равна 200. Найдите его диагональ.

Построим диагональ куба:

Площадь поверхности куба выражается через его ребро а как S = 6а 2 , значит можем найти ребро а:

Диагональ грани куба по теореме Пифагора равна:

Диагональ куба по теореме Пифагора равна:

*Можно было сразу воспользоваться формулой диагонали куба:

Объем куба равен 343. Найдите площадь его поверхности.

Площадь поверхности куба выражается через его ребро а как S = 6 а 2 , а объем равен V = а 3 . Значит можем найти ребро куба и затем вычислить площадь поверхности:

Таким образом, площадь поверхности куба равна:

27060. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

Диагональ параллелепипеда вычисляется по формуле:

где а, b и с рёбра.

Найдём третье ребро. Мы можем это сделать воспользовавшись формулой площади поверхности параллелепипеда:

Подставляем данные и решаем уравнение:

Таким образом, диагональ будет равна:

27063. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

В основании правильной четырёхугольной призмы лежит квадрат. Понятно, что она является параллелепипедом. Формулы применяются те же. Пусть боковое ребро будет равно х. Его мы можем найти используя формулу площади поверхности:

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,8 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

Единичный куб это куб с ребром равным 1.

Площадь поверхности получившегося многогранника можно вычислить следующим образом: от площади поверхности куба нужно вычесть две площади основания вырезанной призмы и прибавить четыре площади боковой грани вырезанной призмы со сторонами 1 и 0,8:

Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 48. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 8. Найдите объем параллелепипеда.

Достаточно применить формулу объёма.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его ребер, или произведению площади основания на высоту. В данном случае роль основания играет грань, роль высоты ребро, которое ей перпендикулярно. Получим:

Следующие задачи вы решите без труда.

27077. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 64. Одно из его ребер равно 4. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру. Ответ: 16.

27078. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани. Ответ: 5.

27079. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 6. Объем параллелепипеда равен 240. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 4.

Ещё для самостоятельного решения:

27054. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

27055. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

27056. Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

27075. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности получившегося многогранника.

27076. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Диагональ куба равна корню из трёхсот. Найдите его объем.

Обозначим ребро куба как a.

Объём куба вычисляется по формуле:

То есть для нахождения объёма куба необходимо найти его ребро.

Диагональ куба находится по формуле:

Это задача обратная предыдущей.

Диагональ куба находится по формуле:

Выразим ребро куба из формулы объёма подставим:

*Если вы хотите вспомнить как работать со степенями и корнями, тогда вам сюда .

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 72 и 18. Диагональ параллелепипеда равна 78. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть рёбра параллелепипеда равны a, b и с.

Для нахождения объёма нам необходимо знать его третье ребро. Как его найти?

Мы можем воспользоваться формулой диагонали параллелепипеда:

Вычислим неизвестное ребро:

Таким образом, объём параллелепипеда равен:

*При разности квадратов используйте формулу , решение упрощается.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 12 и 6. Объем параллелепипеда равен 864. Найдите его диагональ.

Задача обратная предыдущей. Для того, чтобы найти диагональ, необходимо знать чему равно третье ребро. Мы можем вычислить его воспользовавшись формулой объёма:

Диагональ параллелепипеда равна:

Диагональ куба равна 41. Найдите площадь его поверхности.

Площадь поверхности куба равна:

Формула длины диагонали куба:

Выразим ребро и подставим полученное выражение в формулу площади поверхности:

Тогда площадь поверхности куба:

Площадь поверхности куба равна 216. Найдите его объем.

Площадь поверхности куба со стороной равна S = 6 a 2 .

Найдём ребро куба:

Объем куба равен:

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Для того, чтобы вычислить площадь поверхности необходимо знать третье ребро:

Используем формулу длины диагонали:

27128. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2, 3. Найдите его площадь поверхности. Ответ: 22.

27146. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1 и 2 Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности. Ответ: 22

27098. Диагональ куба равна корню из двенадцати. Найдите его объем.

27101. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Давайте вспомним, какие виды параллелепипедов бывают.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань которой называется параллелограмм.

Призма — это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а его боковые грани — это параллелограммы.

Какие бывают призмы:

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:

V = a * b * h

Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.

Онлайн калькулятор. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Используя этот онлайн калькулятор для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, вы сможете очень просто и быстро найти объем прямоугольного параллелепипеда, зная значения его длины, ширины и высоты.

Воспользовавшись онлайн калькулятором для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда, вы получите детальное решение вашего примера, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденный материал.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

- объем прямоугольного параллелепипеда,

Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

У нас есть отличные дополнительные онлайн занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся!

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса

- объем конуса,
- площадь основания конуса,
- радиус основания конуса,
- высота конуса,
π = 3.141592

Параллелепипед, куб. Площади поверхностей. Объём

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

- объем цилиндра,
- площадь основания цилиндра,
- радиус цилиндра,
- высота цилиндра,
π = 3.141592

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
Противолежащие грани параллельны друг другу.
Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
Диагонали куба равны.
Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Объем куба через длину ребра a
V = a3
Площадь поверхности куба
S = 6a2
Периметр куба
P = 12a

Объем параллелепипеда

Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.

Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.

Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.

Объём измеряется в единицах измерения объема (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах.

За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см3), кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3).

Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, вина в бочке, земли в клумбе.

Два свойства объёма

У равных тел равные объёмы. Если два тела одинаковы, и имеют равное количество единиц измерения — их объёмы равны. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.
Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

- площадь прямоугольного параллелепипеда,

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.

2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.

3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками. Получить доступ

Конспект урока "Параллелепипед, куб. Площади поверхностей. Объём"

Напомним, что призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.

Стороны параллелограммов называются рёбрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра.

Например, грани и – противолежащие.

Грани, имеющие общее ребро, называются смежными. Например, грани и – смежные, ребро у них общее.

Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, – его боковыми рёбрами.

В нашем случае у параллелепипеда грани и – его основания. Остальные же грани являются боковыми гранями.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противолежащими. Отрезок, соединяющий, противолежащие вершины, называется диагональю параллелепипеда. У параллелепипеда всего четыре диагонали.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью параллелепипеда, а объединение всех граней называется полной поверхностью параллелепипеда. Тогда площадью боковой поверхности параллелепипеда называется сумма площадей его боковых граней.

А площадью полной поверхности параллелепипеда называется сумма площадей всех его граней.

Параллелепипед обладает следующими свойствами:

1. Противолежащие грани параллелепипеда равны и лежат в параллельных плоскостях.

2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Куб – это прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны, то есть все грани которого – равные квадраты.

Диагональ куба с ребром равна .

Объём куба равен , где – ребро куба.

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм с основаниями см и см и острым углом . Боковое ребро параллелепипеда равно см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Задача вторая. Все грани параллелепипеда – ромбы с диагоналями см и см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Задача третья. Найдите меньшую диагональ прямого параллелепипеда высотой см
со сторонами основания см и см и углом между ними .

Задача четвёртая. В прямоугольном параллелепипеде ребро см, см. Найдите расстояние между диагональю параллелепипеда и ребром .

Задача пятая. Две стороны основания параллелепипеда равны см и см, угол между ними . Боковое ребро равно см и наклонено к основанию под углом . Найдите объём параллелепипеда.

Задача шестая. Все грани параллелепипеда – ромбы с периметром равным и острым углом . Найдите объём параллелепипеда. В ответ запишите значение .

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда

Уточнить и расширить представление о прямоугольном параллелепипеде как о пространственной фигуре.

Сформировать способность к применению формулы объёма прямоугольного параллелепипеда.

Повторить решение задач с использованием формул площади и периметра прямоугольника и квадрата.

Тренировать умение решать примеры на умножении и деление круглых чисел.

Тренировать умение решать практические задачи, производить измерения.

Развивать мыслительные операции: сравнение, анализ, классификация, пространственного воображения.

Развивать культуру математической речи и эмоций учащихся, наблюдательности и любознательности, развитию познавательной активности, формированию навыков работы в группах.

Сформировать способность выдвигать гипотезы, анализировать, сравнивать, строить доказательства, обосновывать выводы.

Предполагаемые результаты деятельности учащихся на уроке:

Принятие социальной роли ученика, осознание личностного смысла учения и интерес к изучению математики.

Развитие самостоятельности и личной ответственности за свои поступки, способность к рефлексивной самооценке собственных действий .

Освоение норм общения и коммуникативного взаимодействия, навыков сотрудничества со взрослыми и сверстниками, умение находить выходы из спорных ситуаций.

Мотивация к работе на результат как в исполнительской, так и в творческой деятельности.

Установка на здоровый образ жизни, спокойное отношение к ошибке как рабочей ситуации, требующей коррекции, вера в себя.

Умение выполнять пробное учебное действие, в случае его неуспеха грамотно фиксировать своё затруднение, анализировать ситуацию, выявлять и конструктивно устранять причины затруднения.

Освоение начальных умений проектной деятельности: постановка и сохранение целей учебной деятельности, определение наиболее эффективных способов и средств достижения результата, планирование, прогнозирование, реализация построенного проекта.

Умение контролировать и оценивать свои учебные действия на основе выработанных критериев в соответствии с поставленной задачей и условиями её реализации.

Приобретение опыта использования методов решения проблем творческого и поискового характера.

Освоение начальных форм познавательной и личностной рефлексии.

Способность к использованию знаково-символических средств математического языка и средств ИКТ для описания и исследования окружающего мира (для представления информации, создания моделей изучаемых объектов и процессов, решения коммуникативных и познавательных задач и др.) и как базы компьютерной грамотности.

Формирование специфических для математики логических операций(сравнение, анализ, синтез, обобщение, классификация, аналогия, установление причинно-следственных связей, построение рассуждений, отнесение к известным понятиям), необходимых человеку для полноценного функционирования в современном обществе; развитие логического, эвристического и алгоритмического мышления.

Освоение норм коммуникативного взаимодействия в позициях «автор», «критик», «понимающий», готовность вести диалог, признавать возможность и право каждого иметь своё мнение, способность аргументировать свою точку зрения.

Умение работать в парах и группах, договариваться о распределении функций в совместной деятельности, осуществлять взаимный контроль, адекватно оценивать собственное поведение и поведение окружающих; стремление не допускать конфликты, а при их возникновении готовность конструктивно их разрешать.

Начальные представления о сущности и особенностях математического знания, его обобщённого характера и роли в системе знаний.

Освоение базовых предметных и межпредметных понятий (алгоритм, множество, классификация и др.).

Умение работать в материальной и информационной среде начального общего образования (в том числе с учебными моделями) в соответствии с содержанием учебного предмета «Математика».

Освоение опыта самостоятельной математической деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач.

Использование приобретённых математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений.

Овладение устной и письменной математической речью, основами логического, эвристического и алгоритмического мышления, пространственного воображения, счёта и измерения, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов (схемы, таблицы, диаграммы, графики), исполнения и построения алгоритмов.

Умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами, составлять числовые и буквенные выражения, находить их значения, решать текстовые задачи, исполнять и строить алгоритмы, составлять и исследовать простейшие формулы, распознавать, изображать и исследовать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, представлять, анализировать и интерпретировать данные.

Приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач.

Оборудование: презентация к уроку, интерактивная доска, проектор, модели кубов и параллелепипедов, модель параллелепипеда, закреплённая на вершине, модели параллелепипедов, закреплённые на ребрах.

Раздаточный материал: модели параллелепипедов единого размера, изготовленных детьми на уроках технологии; модели кубов единого размера;

памятки с формулами нахождения периметра, площади, сторон прямоугольника и квадрата, нахождения объёма параллелепипеда, переместительного и сочетательного свойства умножения; карточки для построения параллелепипеда.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Учитель: А, знаете ли вы что на свете всего быстрее? Быстрее звука, быстрее света?

Дети: (высказывают предположения 3-5) Человеческая мысль.

Учитель: Желаю вам сегодня работать со скоростью мысли и не отставать от своих товарищей.

Учитель: Какие средства и ваши личностные качества в этом помогут?

Дети: Знания, внимательность, сосредоточенность, умение анализировать, делать выводы, строить доказательства и т.д.

Учитель: Прочитайте слова эпиграфа:

Дети: «Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». А.Нивен

Учитель: Как вы понимаете высказывание Нивена?

Дети: Надо самому трудиться, добывать знания, а не смотреть на соседа.

Учитель: Как ты будешь изучать математику?

Дети: Я сам буду изучать, тогда все будет понятно и просто.

Учитель: Замечательно! Кто нам сегодня поможет?

Дети: Карандаш и Самоделкин.

Учитель: Какое знание вам понадобилось для выполнения домашней работы?

Дети: Знание формул нахождения площади и периметра прямоугольника.

Учитель: Что такое формулы?

Дети: Это верные равенства, устанавливающие взаимосвязь между величинами.

Учитель: У кого возникли затруднения? (Проверка по эталону).

Учитель: Вы молодцы, справились с заданием!

Учитель: Как ты думаешь, мы изучили все формулы. Дети: Нет.

Учитель: Для чего нужны формулы?

Дети: Они помогают при решении задач.

Учитель: ВЫ готовы решать задачи, используя своё знание формул?

Учитель: Молодцы! Теперь это знание поможет нам еще раз. Используя формулы, вы узнаете, что мы будем изучать сегодня на уроке.

Учитель: Считаем устно. Найдите на карточке среди предложенных чисел правильный ответ. Соедините ответы последовательно по линейке.

Давая ответ на задачу, необходимо найти на доске и проговорить формулу, по которой ты действовал.

Дети: (а · b)· c= a· (b· c) –сочетательное свойство умножения

Учитель: 2)Площадь прямоугольника со сторонами 9м и 40м Дети: Дети: (360м 2 ). S_пр. = a · b – Чтобы найти площадь прямоугольника, надо перемножить длины его сторон.

Учитель: 3)Периметр квадрата со стороной 12м (48м).

Дети: P_{кв .}= a · 4 – Чтобы найти периметр квадрата, надо длину стороны умножить на 4.

Учитель: 4)Площадь квадрата со стороной 5см (25см 2 ).

Дети: S_кв. = a · а. – Чтобы найти площадь квадрата, надо перемножить длины двух сторон. (Соединить с первой точкой, продолжить от первой точки 190.)

Учитель: 5)Сторону прямоугольника, другая сторона которого равна 20м, а площадь -180м 2 (9м).

Дети: а_пр. = S : b – Чтобы найти длины стороны прямоугольника, надо площадь разделить на длину известной стороны.

Учитель: 6)Сторону квадрата, периметр которого 160см (40см).

Дети: а = Р : 4 – Чтобы найти сторону квадрата, надо периметр разделить на 4.

Учитель: 7)Периметр прямоугольника со сторонами 23см и 27см (100см).

Дети: P_пр. = (a+b) ·2 (Соединить с точкой 48м)

Учитель: Что просматривается по точкам?

Дети: Прямоугольный параллелепипед.

Учитель: 8)Все ли точки мы нашли?

Дети: Последнюю точку вы уже угадали?

Учитель: Тогда проверьте себя. Найдите объём параллелепипеда, длина которого 6 дм, ширина 2 дм, а высота 3дм.

Учитель: Сформулируйте, как найти объём параллелепипеда?

Дети: Надо площадь основания умножить на высоту.

Учитель: Достроим параллелепипед, помня, что не все его части просматриваются- смотрите документ

Учитель: Посмотрите на рисунок. Какая фигура здесь лишняя? Почему?

Дети: Прямоугольник лишний, т.к. он фигура плоская

Учитель: Модели параллелепипедов есть у вас на партах. Сколько их?

Дети:3, 1из них куб.

Учитель: Вспомним, что мы знаем о прямоугольном параллелепипеде - смотрите документ

Учитель: Что обозначено на слайде рыжими точками?

Дети: Вершины параллелепипеда.

Учитель: Сколько у параллелепипеда вершин? Дети: 8.

Учитель: Что показано разными цветами? Дети: Рёбра.

Дети: Красным цветом – длина - 4;

Зелёным – ширина - 4;

Синим – высота - 4.

Учитель: Сколько всего рёбер? Дети:- 12.

Учитель: Сколько измерений необходимо произвести, чтобы начертить прямоугольный параллелепипед?

Учитель: Сколько ребер выходит из одной вершины? Дети: Три.

Учитель: В чем их особенность?

Дети: Они разного цвета, значит, разной длины.

Учитель: Как можно назвать длину, высоту и ширину одним словом? Дети: (Измерения)

Учитель: Сколько различных измерений у параллелепипеда? Дети:- 3!

Учитель: Как назовут пространственную фигуру, у которой все ребра будут равными? Дети: Куб.

Учитель: Как называются «стороны» параллелепипеда? Дети: Грани.

Учитель: Сколько граней? Дети: 6.

Учитель: А сколько пар граней? Дети: 3.

Учитель: ЧТО представляют собой грани?

Учитель: Каковы особенности куба?

Дети: Равные рёбра, равные грани – квадраты.

Учитель: Можно ли вычислить площадь граней параллелепипеда, зная длину, ширину и высоту? Как?

Учитель: Чем ещё характеризуется пространственная фигура? Дети: ОБЪЁМОМ.

Учитель: Какие меры для измерения объёма вы знаете? Дети: мм 3 , дм 3 , м 3 , см 3 , ЛИТР - для жидкостей.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

- объем призмы,
- площадь основания призмы,

Смотрите также

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

основание;
грани;
ребра;
диагонали;
диагонали граней;
высота.

Правильный параллелепипед на то и правильный, что два его измерения равны. Две грани такого правильного параллелепипеда — квадраты.

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

Найти объем прямоугольного параллелепипеда

Введите данные:

a	=
b	=
h	=

Ввод данных в калькулятор для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

N.B. В онлайн калькуляте можно использовать величины в однаквых единицах измерения!

Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины, конвертером единиц площади и конвертером единиц объема.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда

Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево" и "вправо" на клавиатуре.

Задачи по теме «Прямоугольный параллелепипед»

\(\blacktriangleright\) Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.
Другими словами, это прямая призма, основания которой – прямоугольники.
(эти определения эквивалентны).

1) противоположные грани равны между собой;

2) боковые ребра перпендикулярны основаниям, то есть являются высотами;

3) как следствие, формула для объема принимает вид: \(<\Large>\) , где \(a,\ b,\ c\) – три различных боковых ребра.

\(\blacktriangleright\) Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий две противоположные (не лежащие в одной грани) вершины.

1) Все диагонали равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам;

2) Диагональ \(d\) можно найти по формуле: \(<\Large=a^2+b^2+c^2>>\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны \(4\) и \(5\) , а боковое ребро равно \(3\) . Найдите наибольшую площадь его грани.

Заметим, что все варианты для площадей его граней – это всевозможные попарные произведения чисел \(3,4,5\) , то есть \(3\cdot 4\) , \(4\cdot 5\) или \(3\cdot 5\) . Среди этих произведений наибольшим является \(4\cdot 5=20\) .

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(185\) , \(185\) и \(37\) ; а ребра другого равны \(185, 37\) и \(37\) . Во сколько раз объем первого параллелепипеда больше объема второго параллелепипеда?

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Даны два прямоугольных параллелепипеда: ребра одного равны \(a, b\) и \(b\) , а ребра другого равны \(a, a\) и \(b\) . На сколько площадь полной поверхности первого параллелепипеда больше, чем площадь поверхности второго параллелепипеда, если \(a=1000, b=1001\) .

Площадь полной поверхности первого параллелепипеда \[S_1=2(ab+b^2+ab)\] Площадь полной поверхности второго параллелепипеда \[S_2=2(ab+ab+a^2)\] Следовательно, \[S_1-S_2=2(b^2-a^2)=2(b-a)(b+a)=2(1001-1000)(1001+1000)=4002.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) . Во сколько раз объем пирамиды \(AA_1BD\) меньше объема этого параллелепипеда?

Пусть \(AB=x\) , \(AD=y\) , \(AA_1=z\) . Тогда объем параллелепипеда равен \[V_=S_\cdot AA_1=xy\cdot z.\] Так как \(S_=0,5S_\) (потому что по определению прямоугольного параллелепипеда в основании лежит прямоугольник), то объем пирамиды \[V_=\dfrac13\cdot S_\cdot AA_1= \dfrac13\cdot \dfrac12xy\cdot z=\dfrac16xyz.\] Следовательно, объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда.

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В прямоугольном параллелепипеде диагональ грани \(AA_1D_1D\) равна \(5\) , а \(AB=2\sqrt6\) . Найдите диагональ параллелепипеда.

Так как параллелепипед прямоугольный, то все его грани – прямоугольники, а у прямоугольника обе диагонали равны. Следовательно, \(A_1D=AD_1\) . Рассмотрим диагональ \(A_1D\) и диагональ параллелепипеда \(B_1D\) . Треугольник \(A_1B_1D\) прямоугольный, так как ребро \(A_1B_1\) перпендикулярно грани \(AA_1D_1D\) (по определению прямоугольного параллелепипеда). Следовательно, гипотенуза \[B_1D=\sqrt=\sqrt=7.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дан прямоугольный параллелепипед с ребрами \(2, \ 3\) и \(6\) . Найдите его диагональ.

Пусть \(AB=2, AD=3 , AA_1=6\) .

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABD\) ( \(\angle A=90^\circ\) ) имеем: \(BD^2=AB^2+AD^2\) .

Из прямоугольного треугольника \(BB_1D\) ( \(\angle B=90^\circ\) ) по теореме Пифагора \(B_1D^2=BD^2+BB_1^2\) .

Подставляя \(BD^2\) из первого равенства во второе, получим:

\[B_1D^2=AB^2+AD^2+BB_1^2=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49 \quad \Leftrightarrow \quad B_1D=7.\]

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите объём фигуры, получившейся после удаления маленького прямоугольного параллелепипеда из большого.

Объём оставшейся фигуры равен разности объёмов большого прямоугольного параллелепипеда (каким он был до удаления) и маленького (удалённого).

Таким образом, искомый объём равен \[0,8\cdot 1\cdot 1,2 - 0,3\cdot 0,5\cdot 0,55 = 0,8775\,.\]

Мои задачи Добавить папку Мои задачи

Учащимся старших классов будет полезно научиться решать задачи ЕГЭ на нахождение объема и других неизвестных параметров прямоугольного параллелепипеда. Опыт предыдущих лет подтверждает тот факт, что подобные задания являются для многих выпускников достаточно сложными.

При этом понимать, как найти объем или площадь прямоугольного параллелепипеда, должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи единого госэкзамена по математике.

Объем шара

Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи.

Формула объема шара

- объем шара,
- радиус шара,
π = 3.141592

Готовьтесь к ЕГЭ вместе со «Школково»!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь вы найдете весь необходимый материал, который потребуется на этапе подготовки к единому государственному экзамену.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня. Вы можете потренироваться, например, с решением задач на тему “Призма”.

Нужную базовую информацию вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Вы также можете сразу приступить к решению задач по теме «Прямоугольный параллелепипед» в онлайн-режиме. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений разной степени сложности. База заданий регулярно пополняется.

Проверьте, легко ли вы сможете найти объем прямоугольного параллелепипеда, прямо сейчас. Разберите любое задание. Если упражнение дается вам легко, переходите к более сложным задачам. А если возникли определенные сложности, рекомендуем вам планировать свой день таким образом, чтобы ваше расписание включало занятия с дистанционным порталом «Школково».

Теория. Объем прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед — это объемная фигура, у которой шесть граней, и каждая из них является прямоугольником. Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

Формула для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

где V - объем цилиндра,
a - длина,
b - ширина,
h - высота прямоугольного параллелепипеда,

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота
Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды

- объем пирамиды,
- площадь основания пирамиды,

Смотрите также:,

Площадь куба

Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.

Формула площади куба

- площадь куба,
- длина грани куба.

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Формула нахождения прямоугольного параллелепипеда и куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

- объем куба,
- длина грани куба.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

- объем параллелепипеда,
- площадь основания,
- длина высоты.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

На рисунке: ребро АА1 перпендикулярно основанию ABCD. АА1 перпендикулярна прямым АB и АD, которые лежат в плоскости основания

Свойства прямого параллелепипеда:

Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
Sб = Ро*h
Ро — периметр основания
h — высота
Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
Sп = Sб+2Sо
Sо — площадь основания
Объем прямого параллелепипеда
V = Sо*h

Основные нюансы, которые стоит запомнить

Параллелограммы, из которых состоит параллелепипед, являются его гранями, их стороны — ребрами. Вершины этих фигур считаются вершинами самого многогранника.
Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Так как это прямой многогранник, то боковые грани представляют собой прямоугольники.
Так как параллелепипед — это призма, в основании которой находится параллелограмм, эта фигура обладает всеми свойствами призмы.
Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны основанию. Следовательно, они являются его высотами.

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра

- объем правильного тетраэдра,
- длина ребра правильного тетраэдра.

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a - длина, b - ширина, c - высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) - сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) - суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) - сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) - сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X - сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°. Против равных сторон лежат равные углы.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 - AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77.

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро АА1 перпендикулярно АВСD; угол BAD = 90°

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Читайте также: