Напишите формулу разности кубов проведите доказательство

Обновлено: 19.04.2025

Для доказательства справедливости формулы куба разности достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

( a - b ) 3 = ( a - b )·( a - b ) 2 =

= ( a - b )·( a 2 - 2 ab + b 2 ) =

= a 3 - 2 a 2 b + a b 2 - b a 2 + 2 b 2 a - b 3 =

= a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3

Сумма кубов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – сумма кубов, с помощью которой выполняется раскладывание выражения на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Содержание скрыть

Формула суммы кубов
Доказательство формулы
Примеры задач

Примеры задач на применение формулы разности кубов

Разложить на множители x 3 - 27.

x 3 - 27 = x 3 - 3 3 = ( x - 3)·( x 2 + 3 x + 9)

Разложить на множители 8 x 3 - 27 y 6 .

8 x 3 - 27 y 6 = (2 x ) 3 - (3 y 2 ) 3 =

= (2 x - 3 y 2 )·(4 x 2 + 6 xy 2 + 9 y 4 )

Упростить выражение 27 x 3 - 1 3 x - 1 .

Можно заметить, что для выражения в числителе можно применить формулу разности кубов

27 x 3 - 1 3 x - 1 = (3 x - 1)·(9 x 2 + 3 x +1) 3 x - 1 = 9 x 2 + 3 x +1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Разность кубов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, разложение разности кубов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.

Содержание скрыть

Формула разности кубов
Доказательство формулы
Примеры задач

Доказательство формул сокращенного умножения

Напомним, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности и их суммы: a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b).

Иначе говоря, произведение суммы a и b на их разность равна разности их квадратов: (a - b) * (a + b) = a 2 - b 2 .

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a 2 - b 2 ≠ (a - b) 2 .

Докажем, что a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b).

a 2 - b 2 = a 2 - b 2 + ab - ab

(a 2 - a * b) + (a * b - b 2 ) = a *(a - b) + b *(a - b)

Вынесем за скобки (a - b). a * (a - b) + b * (a - b) = (a - b) * (a + b)
Результат доказательства: a 2 - b 2 = (a - b) * (a + b)
Для того, чтобы доказать в обратную сторону: (a - b) * (a + b) = a 2 - b 2 , нужно раскрыть скобки: (a - b) * (a + b) = a * a + a * b - b * a - b * b = a 2 - b 2 .

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Применение формулы куба разности

для раскрытия скобок
для упрощения выражений

Разность кубов

Для доказательства справедливости формулы разности кубов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

( a - b )·( a 2 + ab + b 2 ) =

= a 3 + a 2 b + a b 2 - b a 2 - a b 2 - b 3 = a 3 - b 3

Примеры задач

Задание 1
Представьте в виде произведения множителей выражение: (7x) 3 – 5 3 .

Решение
(7x) 3 – 5 3 = (7x – 5)((7x) 2 + 7x ⋅ 5 + 5 2 ) = (7x – 5)(49x 2 + 35x + 25)

Задание 2
Представьте выражение 512x 3 – 27y 3 в виде разности кубов и разложите его на множители.

Решение
512x 3 – 27y 3 = ((8x) 3 – (3y) 3 ) = (8x – 3y)((8x) 2 + 8x ⋅ 3y + (3y) 2 ) = (8x – 3y)(64x 2 + 24xy + 9y 2 )

Формула разности кубов

Разность кубов чисел/выражений равняется произведению их разности на неполный квадрат их суммы.

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

Полный квадрат суммы выглядит следующим образом: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . В нашем случае во второй скобке напротив второго слагаемого нет множителя 2, поэтому выражение является неполным.

Формула верна и в обратную сторону:

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 – b 3

Примечание: a 3 – b 3 ≠ (a – b) 3

Примеры задач

Задание 1
Разложите на множители выражение: 6 3 + (4x) 3 .

Решение
6 3 + (4x) 3 = (6 + 4x)(6 2 – 6 ⋅ 4x + (4x) 2 ) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16x 2 )

Задание 2
Разложите выражение на произведение множителей: (7x) 3 + (3y 2 ) 3 .

Решение
(7x) 3 + (3y 2 ) 3 = (7x + 3y 2 )((7x) 2 – 7x ⋅ 3y 2 + (3y) 2 ) = (7x + 3y 2 )(49x 2 – 21xy 2 + 9y 2 )

Задание 3
Представьте выражение 64x 3 + 125 в виде суммы кубов и разложите его на множители.

Решение
64x 3 + 125 = (4x) 3 + 5 3 = (4x + 5)((4x) 2 – 4x ⋅ 5 + 5 2 ) = (4x + 5)(16x 2 – 20x + 25)

Доказательство формулы

Убедиться в правильности выражения можно, просто перемножив скобки, соблюдая правила арифметики при их раскрытии. Давайте так и сделаем:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + a 2 b – ab 2 + b 3 = a 3 + b 3 .

Сумма кубов

Для доказательства справедливости формулы суммы кубов достаточно перемножить выражения раскрыв скобки:

( a + b )·( a 2 - ab + b 2 ) =

= a 3 - a 2 b + a b 2 + b a 2 - a b 2 + b 3 = a 3 + b 3

Примеры задач на применение формулы куба разности

Раскрыть скобки ( x - 3) 3 .

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

( x - 3) 3 = x 3 - 3·3· x 2 + 3·3 2 · x - 3 3 =

= x 3 - 9 x 2 + 27 x - 27

Раскрыть скобки (2 x - 3 y 2 ) 3 .

Решение. Для решения воспользуемся формулой куба разности:

= (2 x ) 3 - 3·(2 x ) 2 ·(3 y 2 ) + 3·(2 x )·(3 y 2 ) 2 - (3 y 2 ) 3 =

= 8 x 3 - 36 x 2 y 2 + 54 x y 4 - 27 y 6

Упростить выражение 27 x 3 - 27 x 2 + 9 x - 1 9 x 2 - 6 x + 1 .

Можно заметить, что выражение в числителе - это разложенный куб разности, а в знаменателе - квадрат разности

27 x 3 - 27 x 2 + 9 x - 1 9 x 2 - 6 x + 1 = (3 x - 1) 3 (3 x - 1) 2 = 3 x - 1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).

Для четных показателей можно записать так:

a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).

Для нечетных показателей:

a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов

На данном уроке мы продолжим изучать формулы сокращенного умножения, а именно рассмотрим формулы разности и суммы кубов. Кроме того, мы решим различные типовые задачи на применение данных формул.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»

Применение формулы суммы кубов

для разложения на множители
для упрощения выражений

Примеры задач на применение формулы суммы кубов

Разложить на множители x 3 + 27.

x 3 + 27 = x 3 + 3 3 = ( x + 3)·( x 2 - 3 x + 9)

Разложить на множители 8 x 3 + 27 y 6 .

8 x 3 + 27 y 6 = (2 x ) 3 + (3 y 2 ) 3 =

= (2 x + 3 y 2 )·(4 x 2 - 6 xy 2 + 9 y 4 )

Упростить выражение 27 x 3 + 1 3 x + 1 .

Можно заметить, что для выражения в числителе можно применить формулу суммы кубов

27 x 3 + 1 3 x + 1 = (3 x + 1)·(9 x 2 - 3 x +1) 3 x + 1 = 9 x 2 - 3 x +1

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Доказательство формулы

Достаточно просто умножить скобку (a – b) на (a 2 + ab + b 2 ) , чтобы убедиться в том, что выражение верно, т.е. пойти от обратного:

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 – a 2 b – ab 2 – b 3 = a 3 – b 3 .

Применение формулы разности кубов

для разложения на множители
для упрощения выражений

Как использовать разность кубов

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Важно!

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности кубов.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Формула разности кубов не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

Как разложить на множители разность кубов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность кубов.

Обратим внимание, что « 27а 3 » — это « (3а) 3 », значит, для формулы разности кубов вместо « a » мы используем « 3a ».

Используем формулу разности кубов. На месте « a 3 » у нас стоит « 27a 3 », а на месте « b 3 », как и в формуле, стоит « b 3 ».

Применение разности кубов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов в разность кубов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратите внимание, что произведение многочленов « (x − 1)(x 2 + x + 1) » напоминает правую часть формулы разности кубов « a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », только вместо « a » стоит « x », а на месте « b » стоит « 1 ».

Используем для « (x − 1)(x 2 + x + 1) » формулу разности кубов в обратную сторону.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется упростить произведение многочленов.

Если сравнить « (y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1) » с правой частью формулы разности кубов
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) », то можно понять, что на месте « a » из первой скобки стоит « y 2 , а на месте « b » стоит « 1 ».

Важно!

Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте « a » стоит « y 2 ». Это означает, что именно « y 2 » мы рассматриваем как « a ».

Представим скобку « (y 4 + y 2 + 1) » таким образом, чтобы она соответствовала правой части формулы разности кубов.

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и их суммы.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго на неполный квадрат их суммы.
Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.
Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Формула суммы кубов

Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Полный квадрат разности выглядит так: (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 . В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.

Формула справедлива и справа-налево:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Примечание: a 3 + b 3 ≠ (a + b) 3

Как использовать куб суммы (a + b) 3

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители — применение формул сокращённого умножения.

Важно!

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Вспомним, как выглядит формула куба суммы.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Формула куб суммы не очень проста для запоминания, поэтому рекомендуем использовать специальный способ для её запоминания.

Важно понимать, что любая формула сокращённого умножения действует и в обратную сторону .

a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3

Как возвести в куб многочлен

Рассмотрим пример. Необходимо возвести в куб многочлен.

Используем формулу куба суммы. Только вместо « a » у нас будет « x », а вместо « b » будет « 2y ».

Часто возводят многочлен в куб следующим образом:

Это неверно! Для возведения многочлена в куб необходимо использовать формулу сокращенного умножения: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Применение куба суммы для разложения многочлена на множители

Рассмотрим многочлен. Требуется разложить его на множители, используя формулу куба суммы.

Обратите внимание, что многочлен « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » напоминает правую часть формулы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 », только вместо « a » стоит « m », а на месте « b » стоит « n ».

Используем для многочлена « m 3 + 3m 2 n + 3mn 2 + n 3 » формулу куба суммы.

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить многочлен на множители.

В этом многочлене не так очевидно, что будет являться в формуле « a », а что « b ».

Представим многочлен « 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » в виде « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Обратим внимание, что « 27x 3 » — это « (3x) 3 », значит « a » в исходном многочлене — это « 3x ».

Чтобы понять, что является « b » в исходном многочлене, рассмотрим последний одночлен — « 8 ». Вспомним, что « 8 » — это « 2 3 », значит « b » в исходном многочлене — это « 2 ».

Рассмотрим одночлены посередине « 54x 2 » и « 36x ». При сравнении многочлена с кубом суммы « a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 » можно понять, что эти одночлены должны быть « 3a 2 b » и « 3ab 2 соответсвенно.

Преобразуем одночлены « 54x 2 » и « 36x » в виде « 3a 2 b » и « 3ab 2 ». С учетом того, что ранее мы нашли, что в нашем многочлене « a » — это « 3x », а « b » — это « 2 ».

Важно!

Внимательно проверяйте, правильно ли вы разложили числовые коэффициенты.

Проверим, верно ли мы разложили одночлены « 54x 2 » и « 36x ».

54x 2 = 3 · (3x) 2 · 2 = 3 · 9x 2 · 2 = 27x 2 · 2 = 54x 2 (верно)
36x = 3 · 3x · (2) 2 = 3 · 3x · 4 = 9x · 4 = 36x (верно)

После необходимых преобразований становится видно, что многочлен
« 27x 3 + 54x 2 + 36x + 8 » является правой частью формулы куба суммы
« (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ».

Сокращенное умножение: правила, формулы

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что сделать: вычислить квадрат произведения (55 + 10) 2 .

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Что сделать: раскрыть скобки (7 * y - x) * (7 * y + x).

Как решаем:

Произведем умножение: (7 * y - x) * (7 * y + x) = 7 * y * 7 * y + 7 * y * x - x * 7 * y - x * x = 49 * y 2 + 7 * y * x - 7 * y * x - x 2 = 49 * y 2 - x 2 .
Используем формулу сокращенного умножения: (7 * y - x) * (7 * y + x) = (7 * y) 2 - x 2 = 49 * y 2 - x 2 .

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей :)

Читайте также: