Нахождение момента инерции куба

Обновлено: 10.01.2025

В нашем обиходе довольно часто встречаются выражения « он совершенно инертный» или «его инертность заставляет задуматься». Их применяют в отношении человека, который не обладает инициативой и не привык двигаться. Существуют другие понятия такого лица, но думаю, что они больше относятся к медицине. В общем понимании это человек не любящий принимать собственных решений. Или возьмем пример из цирка, где силач под аплодисменты зрителей выдерживает валун огромной массы. Данный объект лежит совершенно спокойно и не совершает никаких движений. Напарник бьет по камню и атлету совершенно не больно. Вся причина кроется в том, что объект инертен по отношению к цирковому артисту. Если бы на месте огромного валуна был маленький камушек, был бы тот же эффект.

Также можем применить пример из жизни, когда пешеход стоит на проезжей части и наблюдает за несущимся автомобильным потоком. Тяжелогруженная машина, если решила совершить остановку начинает тормозить раньше, чем легковая и совершает движение по инерции под влиянием груза. Естественно, что грузовик продвинется гораздо дальше по сравнению с легковушкой.

Определение момента инерции

Еще со школьной скамьи нам было известно, что масса, это масса инертности тела. Если к примеру, мы совершим толчок двух вагонов у которых разный вес, то совершенно понятно, что остановить труднее будет тот вагон, у которого масса тяжелее. Одним словом, чем больше вес, тем нужно большее усилие для совершения движения. В данной ситуации мы рассматриваем поступательное движение, когда вагон совершает движение прямо.

Понятие момента инерции, включает в себя меру инертности тела при вращении вокруг своей оси. Момент инертности является физическим значением и обозначается буквой J. Измеряемость данной величины кг умноженный на метр в квадрате.

Высчитывают момент инертности при помощи следующей формулы.

Применяется она обычно в научной физике, при вычислении момента инерции тела. Если представить объект, разбившийся на несколько кусков, то момент инерции будет равняться сумме этих кусков, умноженный на квадрат расстояния к оси вращения. Так определяют момент инерции в физике. Если брать реальность, то определение происходит в результате расчетов, произведенных по формуле Штейнера.

Момент инерции куба

Момент инерции куба через любую из трёх главных осей равен I = (ma^2)/6. Найти момент инерции относительно любой другой оси можно по формуле:

I' = I*cos^2(a) + I*cos^2(b) + I*cos^2(c), где a, b, c - углы между новой осью инерции и осями X, Y, Z.

Так вот, мне надо найти момент инерции куба относительно его пространственной диагонали. По этой формуле получается все углы равны 45 градусов, откуда I' = 1.5*I = (ma^2)/4.

Помощь в написании контрольных, курсовых и дипломных работ здесь.

94731 / 64177 / 26122 Ответы с готовыми решениями:

Найти момент инерции I и момент импульса земного шара относительно оси вращения
Найти момент инерции I и момент импульса земного шара относительно оси вращения.Масса Земли равна.

Определить момент силы торможения, если момент инерции маховика равен 1кг/м^2
маховик делал 10 оборотов в секунду,при торможении он остановился,сделав 30 оборотов от начало.

Найти момент инерции J вентилятора и момент сил торможения
Вентелятор вращается с частотой n=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равно.

Задачи на момент инерции и момент импульса
Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, с парой задач: 1.Тело представляет собой стержень массой.

Как найти момент инерции куба?

Прошу указать относительно какой оси, а дальше перевести в цилиндрические координаты и интегрировать по массам элементарных объемов, вот так.

может быть если момент инерции точки I=md,d в квадрате,то может суммарный I равен сумме моментов этих 8 вершин куба?Хотя тут я ответа не знаю,потому что не очень понимаю задачу.

Вообще момент инерции куба относительно оси, походящий через центры противоположных граней, равен 1/6 * md^2, где d - сторона куба. Если надо относительно другой оси, то можно применить правило параллельного переноса: результирующий момент инерции = исходному центральному (т. е. относительно оси, походящей через центр тяжести) плюс MR^2, где М - масса тела, R - то самое смещение.
Ну а как вычислить - хрен его знает. Можно применить то самое правило параллельного переноса. Возьмём тонкий квадрат. Вычислить его момент инерции относительно оси, проходящей через середины противоположных сторон, довольно просто. А куб - это много-много таких квадратов, каждый из которых смещён на некоторое расстояние относительно центральной оси. Ну и проинтегрировать от -d/2 до +d/2, поскольку момент инерции аддитивен, т. е. суммарный момент системы тел равен сумме моментов отдельных тел.

Пример решения задачи

Вашему вниманию представим 2 варианта. В первом случае мы попытаемся найти момент инерции, а во втором, применим знания полученные при изучении теоремы Штейнера.

Упражнение 1. Установить момент инерции диска весом М и радиусом Р. Ось вращения соответственно расположена по центру объекта.

Оптимальное решение:

Диск делится на маленькие колечки, радиус которых изменяется от 0 до Р. Разберем более подробно отдельное кольцо. Обозначим, что его вес равен значение м, а радиус показателю р. Тогда получим момент инерции равный: DJ= DMR в квадрате.

Что такое инерция

В научном понимании это свойство тел находится в состоянии покоя, при этом внешние силы никакого воздействия не осуществляют. Понятие момента инерции вызывает определенный вопрос. Не каждому обывателю понятно это выражение, поэтому разберем его подробнее. Инерция, это свойство отдельного тела, лежать в спокойном состоянии при отсутствии на него внешних действий различной силы. Также объект может воспрепятствовать изменчивости скоростных показателей. Из жизни мы можем привести такой пример, когда машина находится на льду и начинает тормозить, то она не сразу останавливается, а совершает поступательное движение благодаря льду. Весь тормозной путь будет считаться инерцией. Или размешивая чай в стакане после того, как перестанем мешать, жидкость продолжает совершать вращательное движение. Это будет считаться инерцией.

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Научный форум dxdy

Задайте этот вопрос писковому серверу. Он даст 100 способов вывода. Выбирайте ответы по своему вкусу.

03.06.2009, 21:55

Если бы я что то нашел, то здесь бы не спрашивал!

03.06.2009, 22:28

Как вывести момент инерции сферы?

Момент относительно чего?

03.06.2009, 22:40

относительно оси

Цитата:

Здесь нету вывода, а просто что должно получится.

04.06.2009, 00:40

Сразу выразим плотность через массу и объем сферы cреднего радиуса малой толщины :
(объем тонкой сферы = пл.сферы на ее толщину).
Интегрируем произведение масс колец (плотности , длины , толщины , ширины ) на квадрат расстояния от оси
Дифференциал мом. инерции

Интеграл этой функции
интеграл момента инерции
Подставим вместо плотности и получим итог:
.

04.06.2009, 04:41

Если вам нужен именно вывод. Я бы вывел следующим образом:

Будем считать что функция плотности задана на поверхности и за ось примем z$" />
z$" />
. Площадь сферы обозначим
Переходим к цилиндрическим координатам:
Мысленно разбиваем диаметр вдоль оси z$" />
z$" />
на равных отрезков и получаем соответственно разбиение сферы на сферических поясов (и шапочки на полюсах) одинаковой высоты , \quad (N=\dfrac )$" />
. Далее проводим меридианов и соответственно разбиваем каждый сферический пояс на сферические "квадраты" ( в полюсах- треугольники) каждый с угловой мерой , \quad ( N=\dfrac )$" />
. Получаем в общей сложности кусочков.

В каждом кусочке /элементе сферы - выбираем точку с координатами , и находим значение плотности Момент каждого кусочка $" />
относительно оси z$" />
z$" />
приблизительно равен

$m_</p> <p>=f(r_i, \phi_j, z_i)\cdot A_\cdot r_i^2= f(\sqrt, \phi_j, z_i)\cdot A_\cdot (R^2-z_i^2)$

Чтобы найти площадь $" />
кривой поверхности, вообще говоря необходимо привлекать частные производные, но в нашем случае (сферы) спасает теорема, утверждающая, что если сферические пояса имеют одинаковую высоту, то их площади равны. (Доказывается средствами матана 2 курса или просто смотри в инете ). Поэтому равны и площади всех элементов нашего разбиения сферы =\dfrac= \dfrac<|S|>=\dfrac<| S|><(\frac <2R>)( \frac)> = | S|\dfrac< \Delta \phi \Delta z >$" />
.

Далее все это суммируем по обоим индексам, устремляем к бесконечности и получаем двойной интеграл по поверхности как советовали в самом начале.

$\begin</p> <p> M_z & \approx \sum_^N \sum_^N m_=\sum_^N \sum_^Nf(r_i, \phi_j, z_i)\cdot A_\cdot r_i^2 \\ &= \sum_^N \sum_^N f(\sqrt, \phi_j, z_i)\cdot | S|\dfrac< \Delta \phi \Delta z >\cdot (R^2-z_i^2) \ldots\\ \\ & \\\ \\ &\longrightarrow \dfrac<|S|><4R\pi>\int\limits_^R \int\limits_0^ <2\pi>f(\sqrt, \phi, z)(R^2-z^2)d\phi dz \end$

Ну а если, как частный случай, масса распределена равномерно, то вытаскивая за интегралы и умножив на получаем

<4R\pi>\int\limits_^R \int\limits_0^<2\pi>(R^2-z^2)d\phi dz = \dfrac<4R\pi>\int\limits_^R \int\limits_0^<2\pi>(R^2-z^2)d\phi dz $" />

где - масса сферы. Проинтегрировав, получите ответ данный Архиповым .

04.06.2009, 08:02

Теорема Штейнера

Прежде всего, нам нужно понять, отчего зависит момент инерции. Ответ достаточно прост: от веса, оси вращения, формы и габаритов объекта. Теорема Штейнера имеет важное значение и студенты часто ее используют для решения различных задач. Что же она обозначает? Она имеет следующую формулировку. Момент инерции объекта относительно оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, которая проходит через центр параллельно оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Немного мудреное понятие, но именно так объясняется теорема. В физике существуют разнообразные виды инерции: например, центральный или геометрический. Момент инерции является единицей измерения для тела, которое совершает вращательное движение вокруг своей оси.

Научный форум dxdy

Не могу точно определить, где ошибка в моих вычислениях (хотя подозреваю). Вот, как я делаю: - это объем очень тонкой пластинки (мы как бы из пластинок формируем всю массу куба), так вот я его определяю так: , а - квадрат диагонали этой пластинки. Интегрирование производим в пределах от нуля до , учитывая, что $ и $V=abc$" />
:\int_0^c (a^2+b^2)abdz=m(a^2+b^2)$" />
Ну ошибка наверное в том, что нельзя было брать диагональ пластинки. Тогда я не знаю. 09.10.2014, 21:46 Вы хотите вычислить момент инерции относительно какой оси? 09.10.2014, 21:50 Вы хотите вычислить момент инерции относительно какой оси?
Черт, я же не указал тут. Ну относительно вертикальной оси, которая проходит через боковое ребро 09.10.2014, 21:55

Последний раз редактировалось melnikoff 09.10.2014, 22:19, всего редактировалось 3 раз(а).

- это объем очень тонкой пластинки (мы как бы из пластинок формируем всю массу куба)

Интеграл по объему определен как предел интегральной суммы при стремлении диаметров (диаметр множества) всех объемчиков к нулю. Пластины, о которых Вы говорите, никак не удовлетворяют этому условию.

Считаем, что нам дан куб с ребром , и, что он однородный.
r^2dm=\rho \int \limits_r^2dV=\rho \int \limits_^dz\int \limits_r^2dS$" />
.
То есть, помещая начало прямоугольной системы координат в вершину куба, а оси – вдоль ребер куба, сводим тройной интеграл к повторному.
r^2dS$" />
- интеграл по площади квадрата со стороной .
Главное понимать, что - это расстояние до элементарных площадок квадрата и оно как раз выражается по теореме Пифагора.

09.10.2014, 21:59 melnikoff , а что мне тогда делать? 09.10.2014, 21:59

Последний раз редактировалось Ms-dos4 09.10.2014, 21:59, всего редактировалось 1 раз.

fronnya
Тут кажется полное непонимаение. - это расстояние от элемента до выбранной вами оси. И вообще проще делать по другому. Момент инерции относительно произвольной оси есть квадратичная форма = ^T>\hat I\vec n\]$" />
(взгляните на матрицу тензора инерции \]$" />
). А если в качестве осей координат выбрать главные (а у параллелепипеда они очевидно какие), то будет совсем просто = n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\]$" />
. Вот и найдите их. (\]$" />
- единичный вектор в направлении оси) 10.10.2014, 00:51

Последний раз редактировалось fronnya 10.10.2014, 00:58, всего редактировалось 1 раз.

Ms-dos4 , не, мне квадратичные формы противопоказаны (не прошли ещё )

melnikoff , мне тут одногруппники объяснили. Введем линейную плотность: $" />
, тогда , а $" />
. Тогда m(a^2+b^2)$" />

10.10.2014, 16:41 Ms-dos4, не, мне квадратичные формы противопоказаны (не прошли ещё )

Ну вы же не экзамен сдавать по ним будете.

А в учебниках по линалу, которые вы летом штудировали, вы квадратичных форм не прочитали ещё?

10.10.2014, 19:15

А в учебниках по линалу, которые вы летом штудировали, вы квадратичных форм не прочитали ещё?

Даже близко, нет. 10.10.2014, 22:27

Хм. А матрицы прочитали?

Квадратичная форма - это, поначалу, просто матрица, которая применяется так: >Ax.$" />
То есть, берём вектор, и умножаем его на матрицу с двух сторон. Получается куча произведений второй степени с разными коэффициентами, матрица как раз задаёт эти коэффициенты. Так что, квадратичная форма - это однородный полином второй степени от переменных, но его свойства - удобнее всего анализировать аналогично свойствам матрицы.

Моменты инерции

Для поперечного сечения, в расчетах используются осевые моменты, полярный момент, центробежный момент инерции. Все эти типы моментов являются геометрическими характеристиками поперечного сечения. Полярный момент относительно начала координат является суммой осевых моментов инерции.

Массовый момент измеряется в кг·мм . В NX за этот момент инерции отвечает инструмент Измерение тел.

Рубрики NX, Теория Метки NX Моделирование, Момент инерции

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

20.4. Приложения тройных интегралов

ОбъемОбластиВыражается формулой

(20.12)

В сферических координатах этот интеграл имеет вид

А в цилиндрических координатах

Если тело занимает объемИ- плотность его в - точке

, то масса тела равна

(20.15)

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам

(20.16)

Где— масса тела.

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей определяются интегралами

Момент инерции тела относительно оси Ои определяется интегралом

Где— расстояние точкиТела от осиВ частности, моменты инерции

Тела относительно координатных осейОпределяются формулами

(20.17)

Момент инерции тела относительно начала координат определяется формулой Очевидно, верны следующие соотношения:

Ньютоновым потенциалом тела в точкеНазывается интеграл

(20.18)

Где— объем тела,- плотность тела,

Материальная точка массыПритягивается телом с силой, проекции которой На оси координатРавны:

Пример 20.9. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Данное тело ограничено сферами радиусовИЦентрами в начале координат и конусом с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью Оно расположено над плоскостьюСечение этого тела плоскостьюИзображено на рис. 20.3.

Для вычисления объема тела перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). Уравнение сферыПримет видТак как

Аналогично преобразуется уравнение второй сферы. Уравнение конусаПримет видПотому что

Откуда

По формуле (20.13) находим

Пример 20.10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Рис. 20.3 Рис. 20.4

Данное тело ограничено сферойИ параболоидом вращения

; сечение тела плоскостьюИзображено на рис. 20.4. Для вычисления объема тела перейдем к цилиндрическим координатам по формулам (20.7). В цилиндрических координатах получаем(уравнение сферы),

(уравнение параболоида). Отметим, что при постоянных значенияхИВнутри тела z изменяется от(для точкиПересечения с поверхностью параболоида)

До(для точкиПересечения с верхней частью поверхности сферы).

При постоянномИзменяется от 0 (для точек, лежащих на оси) до наибольшего значения в точках линии пересечения данных поверхностей, так как с возрастаниемДля поверхности параболоида возрастает, а для шара убывает (что видно из уравнений поверхностей). Для линии пересечения поверхностей ИИмеемОткуда

(второй корень дает мнимые значения для р). Следовательно, для точек линии пересеченияВнутри тела р изменяется от 0 до. Заметив еще, что

Ф изменяется от 0 до 2тс, по формуле (20.14) получим

Пример 20.11. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом

При наличии выраженияВ уравнении поверхности по

Лезен переход к обобщенным сферическим координатам по формулам (20.11). Якобиан в этом случае равен

Уравнение данной поверхности в новых координатах примет вид(ибо

, поэтому

Для данного телаИзменяется от 0 до 1. Заметив, чтоПо

Формуле (20.6) получим

Итак,В частном случае, приПолучаем объем ша

Ра

Замечание. Поскольку эллипсоидсимметричен относительно координатных плоскостей, то можно найти объемЧасти данного тела. При вычислении интеграла нужно иметь в виду, что в этом случае

Пример 20.12. Найти массу шараЕсли плотность в

Каждой точке обратно пропорциональна расстоянию ее до начала координат.

Пусть- произвольная точка данного шара, тогда ее расстояниеДо

Начала координат выражается формулойПоэтому плотностьВ

Соответствиис условием задачи определяется формулой

, где- коэффициент пропорциональности. По

Формуле (20.15) имеем

Где областьОтраничена сферойДля вычисления данного

Интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам (20.9). Подынтегральная функция, а уравнение сферы примет вид

По формуле (20.10) находим

Пример 20.13. Найти центр тяжести шара если плотность в каждой точке его обратно пропорциональна расстоянию до начала координат.

Воспользуемся формулами (20.16). Масса m была определена в предыдущей задаче (см. пример 20.12). Из соображений симметрии следует, чтоНайдем

Замечание. КоординатыМожно получить с помощью

Первых двух формул (20.16).

Пример 20.14. Вычислить момент инерции однородного куба относительно одного из его ребер.

Начало прямоугольной декартовой системы координат поместим в одной из вершин куба, а оси направим вдоль трех взаимно перпендикулярных ребер. Обозначим черезРебро куба и найдем его момент инерции относительно оси воспользовавшись третьей из формул (20.17). Так как куб является однородным, то в указанных формулах можно положить:

5.I. Вычисление статических моментов и моментов инерции

Предварительно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 206, 207. Рассмотрите внимательно примеры, приведенные в указанных пунктах.

573. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпадал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем сгатический момент, совпадал с осью Ох. Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится следующей формулой:

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: у —V R2—х. Тогда

574. Найти статические моменты относительно осей Ox и Oy дуги эллипса , расположен

ной в первом квадранте.

Решение. Найдем статический момент дуги эллипса относительно оси Ох. Из уравнения эллипса имеем

(мы берем перед корнем знак , так как по условию кривая расположена в первом квадранте).

Найдем статический момент дуги эллипса относительно оси Oy. Из уравнения эллипса имеем:

X = JLyW=T*-, dl = - L YbUg^ZFldy.

К, -|f VF=V? - j - /езщрг dy=

575. Найти статический момент прямоугольника с основанием а и высотой h относительно его сторон.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось Ox совпадала с основанием, а начало координат — с прилегающей к основанию стороной. Тогда статический момент плоского тела относительно оси Ox будет вычисляться по формуле:

В нашем случае у = h,

Статический момент относительно оси Oy вычисляется по формуле:

576. Налти статический момент фигуры, представленной на рисунке 23 относительно стороны OD1 если известно, что OA = 3 см, AB = 5 см, BC = 5 см, OF = 8см, а дуга CD есть четвертая часть окружности радиуса CF = FD = S см.

Решение. Как видно из рисунка 23, данная фигура имеет сложную форму. Разобьем это тело на простые геометрические фигуры и применим затем теорему: статический момент фигуры относительно некоторой оси равен сумме статических моментов ее частей относительно той же оси.

Выберем систему координат, как показано на рисунке 23. Легко видеть, что данную фигуру можно рассматривать как сумму дзух трапеций OABM и MBCF и одной четвертой части круга.

Координаты точек At Bt C9 Dy F определить легко: Л (0, 3), В (4, 6), С (8, 3), £>(11, 0), F( 8, 0).

Найдем уравнения прямых AB и BCt как уравнения прямых, проходящих через две данные точки:

уравнение прямой AB:

уравнение прямой ВС:

Так как центр F окружности лежит на оси Ox и отстоит от начала координат на расстоянии OF — 8, то уравнение окружности будет

Учитывая все вышеизложенное, найдем:

577. Найти статический момент тела, ограниченного одной аркой циклоиды относительно оси Ох.

Решение. Так как параметр t для одной арки циклоиды изменяется от 0 до 2я, то

578. Найти момент инерции одной арки циклоиды

Относительно оси Ох. Решение. Как было показано в теоретическом курсе, момент инерции дуги относительно оси Ox вычисляется по формуле:

где —дифференциал дуги. Найдем дифференциал дуги:

579. Найти момент инерции дуги окружности

, лежащей в первом квадранте, относительно

Решение. Как известно, момент инерции кривой относительно оси Oy вычисляется по формуле:

Так как и, следо

Для вычисления Была использована

580. Найти момент инерциифигуры, вграниченной дугой полуокружности Относительно

Решение. Как известно из теоретического курса, момент инерции Ix плоского тела относительно оси Ojc равен:

где dS—элементарная площадь тела.

581. Найти статические моменты дуги параболы у2 = 2х (у > 0) относительно осей Ox и Oy от х = 0 до

582. Найти статический момент дуги астроиды х3 -\-2_ 2_

- j-y 3 = а 3 , лежащей в первом квадранте, относительно оси Oy.

583. Найти статический момент относительно оси Ox

584. Вычислить статический момент фигур, ограниченных следующими линиями:

COS X OT ТОЧКИ X ---до точки

дуги косинусоиды у

а) у —- и у = Xi относительно оси Ох\

б) у — X1 и у = Y х относительно оси Ох.

585. Вычислить статический момент фигуры, представленной на рисунке 24, где BC\\AD, CKJ_AD, AB = 5, BC = 2, CK = KD = 3, AK = 6, относительно оси Ох.

586. Найти статический момент прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом, равным а, относительно этого катета.

587. Найти момент инерции отрезка AB, где А (2; 3), В (5; 4), относительно обеих координатных осей.

588. Найти момент инерции треугольника ABC (рис. 25) относительно стороны Ь.

589. Найти момент инерции прямоугольника со сторонами а и b относительно обеих сторон.

590. Найти момент инерции трапеции ABCD относительно ее основания AD1 если AD=а, BC = 6, высота трапеции равна h.

591. Найти момент инерции

параболического сегмента относительно основания. Основание сегмента равно а, «стрела сегмента» равна А.

Читайте также: