К диагонали а1с куба авсда1в1с1д1 провели перпендикуляры из вершин а и в
3)Дана шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, основания которой — правильные шестиугольники. Точка О —центр основания ABCDEF, М— середина бокового ребра DDV Постройте прямую пересечения плоскости А1В1С1 с плоскостью, проходящей через точки О и М параллельно прямой АЕ.
4)Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание которой — параллелограмм ABCD. Точка М лежит на боковом ребре SC. Постройте точку пересечения прямой ВМ с плоскостью ASD.
5)Точки М и N — середины рёбер соответственно АС и треугольной призмы АВСА1В1С1. а) Постройте прямую пересечения плоскостей MNC1 и А1С1 б) В каком отношении плоскость MNC, делит ребро АВ?
6)Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Точки М и N — середины рёбер SA и SC соответственно. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки М, N и В. б) В каком отношении плоскость сечения делит отрезок, соединяющий вершину S с центром основания пирамиды?
7)Основание шестиугольной пирамиды SABCDEF — правильный шестиугольник ABCDEF. Точка М — середина ребра ВС. а) Постройте прямую пересечения плоскостей FSM и ASB. б) В каком отношении плоскость FSM делит отрезок, соединяющий точку А с серединой ребра SD?
8)Основание пирамиды SABCD—параллелограмм ABCD. Точка К лежит на ребре SD и отлична от S и D. а) Может ли сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую АВ и точку К, быть параллелограммом? б) Пусть К — середина ребра SD, М — середина ребра АВ, а пирамида SABCD правильная, причём все её рёбра равны. Найдите угол между прямыми АК и SM.
9)Дана четырёхугольная пирамида SABCD, основание которой — прямоугольник ABCD, а высота проходит через центр О основания. Через середину А1 бокового ребра SA проведена плоскость а, параллельная плоскости основания, а через середину С1 бокового ребра SC и ребро АВ — плоскость b. Найдите угол между плоскостями а и 13, если АВ : ВС: SA = 8: 6:13.
10)Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с вершиной S. Все рёбра пирамиды равны, Е —середина бокового ребра SC. Найдите углы между плоскостями: a) SAD и SBC; б) АВС и SCD; в) АВС и BDE; г) BSC и DSC; д) АВЕ и АВС.
11)Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF с вершиной S. Стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Точка G — середина ребра SC. Найдите расстояния: а) от точки S до прямой BF; б) от точки В до прямой SA; в) от точки F до прямой BG; г) от точки А до прямой SD; д) от точки А до прямой SC; е) от точки А до плоскости SDE; ж) от точки А до плоскости SBF; з) от точки А до плоскости SCE.
12)Высота PC треугольной пирамиды РАВС с вершиной Р проходит через точку С. Прямые РА и ВС перпендикулярны. а) Докажите, что основание пирамиды — прямоугольный треугольник. б) Найдите углы, которые образуют боковые рёбра РА и РВ с плоскостью основания, если АС = 6, ВС — 8, а расстояние от точки Р до прямой АВ равно 5.
13)Точка М — середина ребра АВ правильного тетраэдра DABC. а) Докажите, что ортогональная проекция точки М на плоскость ACD лежит на медиане АР грани ACD. б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
14)Дана правильная четырёхугольная пирамида РАВCD с вершиной в точке Р. Через точку С и середину ребра АВ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость а. а) Докажите, что плоскость а делит ребро ВР в отношении 2: 1, считая от точки В. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью а, если известно, что РА = 10, АС = 16.
15)Через середину ребра АВ куба ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость, параллельная прямым BD1 и А1С1. Докажите, что эта плоскость делит диагональ DB1 в отношении 3 : 5, считая от от вершины D.
16)Высота конуса равна 6, а радиус основания равен 8. а) Докажите, что наибольшая площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину, равна 50. б) Найдите расстояние от центра основания конуса до этой плоскости.
17)В окружность основания конуса с вершиной Р вписан правильный шестиугольник ABCDEF. а) Докажите, что объём пирамиды PABD вдвое больше объёма пирамиды PDEF. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР, если радиус основания конуса равен 6, а длина его образующей равна 9.
18)На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка М, причём SM: MD = 1:4. Точки Р и Q — середины рёбер ВС и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.
19)В правильной треугольной пирамиде SABC сторона АВ основания АВС равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость а проходит через прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
К диагонали а1с куба авсда1в1с1д1 провели перпендикуляры из вершин а и в
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1.
б) Найдите расстояние от точки C до прямой BD1.
а) Проекция на плоскость — это прямая (диагонали квадрата), поэтому, по теореме о трех перпендикулярах,
б) Проведем отрезок CD1 и опустим перпендикуляр CH на BD1.
Искомое расстояние равно высоте CH прямоугольного треугольника BCD1 с прямым углом C:
Подтверждение
Ни о чем не нужно говорить, ничему не следует учить, и печальна так и хороша темная звериная душа.
SARI , у нас эта задача точно разбиралась, но у меня так тормозит дайри, что не могу поискать
Эти перпендикуляры проходят серез середину диагонали А1С (конечно, нужно обосновать)
06.02.2010 в 19:41
"В любой науке столько истины, сколько в ней математики." Э.Кант
06.02.2010 в 21:33
к.черный спасибо большое.
06.02.2010 в 21:42
Белый и пушистый (иногда)
07.02.2010 в 09:15
Ни о чем не нужно говорить, ничему не следует учить, и печальна так и хороша темная звериная душа.
eek/p86392814.htm
По прошествии времени, я не могу сообразить, почему угол между перпендикулярами, проведенными из середин ребер АВ и АД, равен углу между BN и АК. По ответам так получается, но по решению неочевидно.
упс, поняла! У вас к ТР6.С2 напечатано другое условие, наша задача - последняя ТР8.С2
К диагонали а1с куба авсда1в1с1д1 провели перпендикуляры из вершин а и в
Белый и пушистый (иногда)
Недавно кто-то спрашивал про этот сборник (с сиреневой полосой). Задачи показались интересными. Может кому-то понадобится. Не факт, что решения самые оптимальные. Принимаю любую критику.
С2. К диагонали А1С куба ABCDA1В1С1D1 провели перпендикуляры из вершин А и В. Найдите угол между этими перпендикулярами.
С2. Диагональ А1С куба ABCDA1В1С1D1служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через середины рёбер АВ и DD1. Найдите величину этого угла.
С2. К диагонали А1С куба ABCDA1В1С1D1 провели перпендикуляры из середин ребер АВ и АD. Найдите угол между этими перпендикулярами.
читать дальше
геометрия задачка
\/ - кв. корень.
Обозначим а - сторона куба.
M - середина стороны AD, K - середина стороны AB.
Треугольник AA1M:
по теореме Пифагора: A1M = \/(a^2+(a/2)^2) = a*\/(5)/2
Треугольник CMD (он не нарисован) :
по теореме Пифагора: CM = \/(a^2+(a/2)^2) = a*\/(5)/2
Треугольник A1MC (он не нарисован) :
A1M = CM(из доказанного) => A1O = OC(высота в равнобедренном треугольнике - совпадает с его медианой)
A1C = \/(a^2 + a^2 + a^2) = a*\/(3) (корень из квадратов его размеров) .
=> A1O = a*\/(3)/2
Треугольник A1OM (он не нарисован) :
по теореме Пифагора: OM = \/(A1M^2 - A1O^2) = \/((a^2)*5/4 - (a^2)*3/4) = a / \/(2)
Треугольник AA1K:
по теореме Пифагора: A1K = \/(a^2+(a/2)^2) = a*\/(5)/2
Треугольник A1OK (он не нарисован) :
по теореме Пифагора: OK = \/(A1K^2 - A1O^2) = \/((a^2)*5/4 - (a^2)*3/4) = a / \/(2)
Треугольник AMK:
по теореме Пифагора: MK = \/((a/2)^2+(a/2)^2) = a / \/(2)
Треугольник OKM:
OM = OK = KM = a / \/(2)
Этот треугольник равносторонний => все его углы равны 60 градусов.
Ответ: угол между OK и OM равен 60 градусов.
решите задачу
К диагонали А1С куба ABCDA1B1C1D1 провели перпендикуляры из середин рёбер AB и AD. Найдите углы между этими перпендикулярами.
Лучший ответ
Остальные ответы
Угол = 2*sin^-1(0,40824829)
действием с перпендикулярами из середины вы по сути уменьшаете свой куб в два раза по сторонам, но все равно, это будет куб.
у Вас есть куб ABCDA1B1C1D1. на верхней плоскости находим точку Т1 пересечение диагоналей А1С1 В1D1. У Вас будет треугольник АТ1Б и искомый угол будет между сторонами АТ1 и ВТ1. длинна ребра 1. приступаем ищем отрезок АТ это будет 1/2(АС) теперь нужно найти сторону треугольника АТ1=БТ1 опять же из теоремы Пифагора треугольник АТТ1 где ТТ1=1 и АТ мы уже нашли. в конечном итоге, у нас равнобедренный треугольник со сторонами АТ1Б с вершиной в точке Т1. основание треугольника 1, стороны АТ1 И ВТ1 только что вычислили. делим основание пополам получаем прямоугольный треугольник, где один катет будет 1/2 а другой только что высчитанный АТ1. делим основание на сторону и из теоремы синуса ищем угол. потом просто угол умножаем на два
Решения задач ЕГЭ по математике
Если у нас куб ABCDA1B1C1D1, а его диагональ, скажем, A1C, то рассмотрим прямоугольник A1B1CD.
Его стороны равны 1 (ребро куба) и (корень из 2) (диагональ грани куба).
Диагональ этого прямоугольника (которая заодно и диагональ нашего куба) равна (корень из 3) (Пифагор).
Проведем из вершин B1 и D перпендикуляры к A1C.
Для треугольников A1H2B1 и CH2B1 пишем теорему всё того же Пифагора.
Получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными - A1H2 и B1H2.
Решаем её и получаем, что A1H2 = (корень из 3)/3, то есть ровно треть диагонали.
Там всё симметрично, так что СH1 = A1H2 = (корень из 3)/3.
То есть перпендикуляры B1H2 и DH1 делят диагональ куба на три равные части.
А это значит, что и перпендикуляры из всех оставшихся вершин куба разделят диагональ на те же самые три равные части.
Упр.281 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 10 класс, Просвещение:
281 B кубе ABCDA1B1C1D1 из вершины D1 проведены диагонали граней D1A, D1C и D1B1 и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник D1AB1C — правильный тетраэдр. Найдите отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
К диагонали а1с куба авсда1в1с1д1 провели перпендикуляры из вершин а и в
Задание 14 Стереометрия
Дан куб ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что прямая B1D перпендикулярна плоскости A1BC1
б) Найдите угол между плоскостями AB1C1 и A1B1C
Решение.
Показать полностью.
1) Докажем, что прямая B1D перпендикулярна прямой A1B
Заметим, что прямая B1D является наклонной к плоскости A1B1B. Проекцией точки D на эту плоскость будет точка A => проекцией всей наклонной на плоскость A1B1B будет прямая AB1.
Значит нам достаточно построить линии пересечения плоскостей AB1C1 и A1B1C с плоскостью A1BC1, и эти линии будут гарантированно перпендикулярны B1D.
4) Теперь нам осталось найти угол между отрезками C1M и A1N. Это и будет угол между плоскостями в пункте б)
Из равностороннего треугольника A1BC1 моментально находим, что угол между его медианами равен 60°
Читайте также: